1ère S / ES : Inéquations, trinômes et tableaux de signes
| Exercice 252 |
1. \(\displaystyle{\frac{x^{2} - 4x - 5}{x - 2} \geqslant 0}\)
2. \(\displaystyle{\frac{x^{2} + 4x + 4}{x^{2} - 9} \lt 0}\)
3. \(\displaystyle{\frac{x - 2}{2x} \leqslant \frac{2x + 1}{x - 1}}\)
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| 1ère ES | Cours : Trinômes du second degré, polynômes, racines et factorisation |
1. Pour résoudre cette inéquation, on détermine le signe du quotient
\(\displaystyle{\frac{x^{2} - 4x - 5}{x - 2}}\)
.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
• Signe de : \(\displaystyle{x^{2} - 4x - 5}\)
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 16 + (4 \times 5) = 36 = 6^{2}}\)
\(\displaystyle{\Delta}\) est positif, donc le trinôme admet deux racines :
• \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{ 4 - 6}{2} = - 1}\)
• \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5}\)
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :
• positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 1[ \cup ]5 ; + \infty[}\)
• et négatif ailleurs.
• Signe de : \(\displaystyle{x - 2}\)
L’expression \(\displaystyle{x - 2}\) est :
• négative sur \(\displaystyle{]- \infty ; 2]}\)
• positive ailleurs.
On note de plus que \(\displaystyle{2}\) annule le dénominateur : c’est donc une valeur interdite.
• Tableau de signes
On en déduit finalement le tableau de signes suivant :
2. En procédant de la même manière :
• Signe de : \(\displaystyle{x^{2} + 4x + 4}\)
On remarque que : \(\displaystyle{x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}}\)
Le numérateur du quotient étant un carré, il est donc positif pour tout réel \(\displaystyle{x}\), et il s’annule en\(\displaystyle{- 2}\).
• Signe de : \(\displaystyle{x^{2} - 9}\)
On remarque que : \(\displaystyle{x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)}\)
Le trinôme \(\displaystyle{x^{2} - 9}\) admet donc deux racines : \(\displaystyle{- 3}\) et \(\displaystyle{3}\).
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :
• positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 3[ \cup ]3 ; + \infty[}\)
• et négatif ailleurs.
On note de plus que \(\displaystyle{- 3}\) et \(\displaystyle{3}\) annulent le dénominateur : ce sont donc des valeurs interdites.
• Tableau de signes
On en déduit finalement le tableau de signes suivant :
3. Pour résoudre cette inéquation, il faut au préalable se ramener à l’étude du signe d’un quotient. On regroupe donc tous les termes d’un côté et on réduit l’expression au même dénominateur :
\(\displaystyle{\frac{x - 2}{2x} \leqslant \frac{2x + 1}{x - 1}}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2x} - \frac{2x + 1}{x - 1} \leqslant 0}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{(x - 2) (x - 1) - 2x (2x + 1)}{2x (x - 1)} \leqslant 0}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{ - 3x^{2} - 5x + 2}{2x (x - 1)} \leqslant 0}\)
On procède alors de la même manière que précédemment.
• Signe de : \(\displaystyle{- 3x^{2} - 5x + 2}\)
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 25 + (4 \times 3 \times 2) = 49 = 7^{2}}\)
\(\displaystyle{\Delta}\) est positif, donc le trinôme admet deux racines :
• \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 7}{- 6} = \frac{1}{3}}\)
• \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 7}{- 6} = - 2}\)
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant négatif, on en déduit que le trinôme est :
• négatif sur \(\displaystyle{\bigg]- \infty ; - 2\bigg[ \cup \left] \frac{1}{3} ; + \infty\right[}\)
• et positif ailleurs.
• Signe de : \(\displaystyle{2x (x - 1)}\)
Il s’agit d’un trinôme du second degré déjà factorisé. On en déduit donc qu’il admet deux racines : \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif (le terme de degré \(\displaystyle{2}\) est égal à \(\displaystyle{2x^{2}}\) après développement), on en déduit que le trinôme est :
• positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; 0[ \cup ]1 ; + \infty[}\)
• et négatif ailleurs.
On note de plus que \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\) annulent le dénominateur : ce sont donc des valeurs interdites.
• Tableau de signes
On en déduit finalement le tableau de signes suivant :
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
• Signe de : \(\displaystyle{x^{2} - 4x - 5}\)
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 16 + (4 \times 5) = 36 = 6^{2}}\)
\(\displaystyle{\Delta}\) est positif, donc le trinôme admet deux racines :
• \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{ 4 - 6}{2} = - 1}\)
• \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5}\)
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :
• positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 1[ \cup ]5 ; + \infty[}\)
• et négatif ailleurs.
• Signe de : \(\displaystyle{x - 2}\)
L’expression \(\displaystyle{x - 2}\) est :
• négative sur \(\displaystyle{]- \infty ; 2]}\)
• positive ailleurs.
On note de plus que \(\displaystyle{2}\) annule le dénominateur : c’est donc une valeur interdite.
• Tableau de signes
On en déduit finalement le tableau de signes suivant :
Les solutions de l’inéquation sont donc : \(\displaystyle{S = [- 1 ; 2[ \cup [5 ; + \infty [}\)
2. En procédant de la même manière :
• Signe de : \(\displaystyle{x^{2} + 4x + 4}\)
On remarque que : \(\displaystyle{x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}}\)
Le numérateur du quotient étant un carré, il est donc positif pour tout réel \(\displaystyle{x}\), et il s’annule en
• Signe de : \(\displaystyle{x^{2} - 9}\)
On remarque que : \(\displaystyle{x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)}\)
Le trinôme \(\displaystyle{x^{2} - 9}\) admet donc deux racines : \(\displaystyle{- 3}\) et \(\displaystyle{3}\).
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :
• positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; - 3[ \cup ]3 ; + \infty[}\)
• et négatif ailleurs.
On note de plus que \(\displaystyle{- 3}\) et \(\displaystyle{3}\) annulent le dénominateur : ce sont donc des valeurs interdites.
• Tableau de signes
On en déduit finalement le tableau de signes suivant :
Les solutions de l’inéquation sont donc : \(\displaystyle{S = ]- 3 ; - 2[ \cup ]- 2 ; 3[}\)
3. Pour résoudre cette inéquation, il faut au préalable se ramener à l’étude du signe d’un quotient. On regroupe donc tous les termes d’un côté et on réduit l’expression au même dénominateur :
\(\displaystyle{\frac{x - 2}{2x} \leqslant \frac{2x + 1}{x - 1}}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2x} - \frac{2x + 1}{x - 1} \leqslant 0}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{(x - 2) (x - 1) - 2x (2x + 1)}{2x (x - 1)} \leqslant 0}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{ - 3x^{2} - 5x + 2}{2x (x - 1)} \leqslant 0}\)
On procède alors de la même manière que précédemment.
• Signe de : \(\displaystyle{- 3x^{2} - 5x + 2}\)
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac = 25 + (4 \times 3 \times 2) = 49 = 7^{2}}\)
\(\displaystyle{\Delta}\) est positif, donc le trinôme admet deux racines :
• \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 7}{- 6} = \frac{1}{3}}\)
• \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 7}{- 6} = - 2}\)
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant négatif, on en déduit que le trinôme est :
• négatif sur \(\displaystyle{\bigg]- \infty ; - 2\bigg[ \cup \left] \frac{1}{3} ; + \infty\right[}\)
• et positif ailleurs.
• Signe de : \(\displaystyle{2x (x - 1)}\)
Il s’agit d’un trinôme du second degré déjà factorisé. On en déduit donc qu’il admet deux racines : \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\).
Le coefficient du terme de degré \(\displaystyle{2}\) du trinôme étant positif (le terme de degré \(\displaystyle{2}\) est égal à \(\displaystyle{2x^{2}}\) après développement), on en déduit que le trinôme est :
• positif sur \(\displaystyle{]- \infty ; 0[ \cup ]1 ; + \infty[}\)
• et négatif ailleurs.
On note de plus que \(\displaystyle{0}\) et \(\displaystyle{1}\) annulent le dénominateur : ce sont donc des valeurs interdites.
• Tableau de signes
On en déduit finalement le tableau de signes suivant :
Les solutions de l’inéquation sont donc : \(\displaystyle{S = \bigg]- \infty ; - 2\bigg] \cup \left]0 ;
\frac{1}{3}
\right] \cup \bigg]1 ; + \infty\bigg[}\)
Astuces à retenir et pièges à éviter
» Soient le trinôme du second degré \(\displaystyle{ax^{2} + bx + c}\) (avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)), et son discriminant\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac}\) :
• Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), le trinôme n’a pas de racine réelle ; son signe est celui de son coefficient \(\displaystyle{a}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
• Si \(\displaystyle{\Delta = 0}\), le trinôme a une racine double : \(\displaystyle{x_{1} = \frac{- b}{2a}}\) ; son signe est celui de \(\displaystyle{a}\)sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
• Si \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), le trinôme a deux racines réelles distinctes : \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\) ; son signe est celui de \(\displaystyle{a}\) sur\(\displaystyle{]- \infty ; x_{1}[ \cup ]x_{2} ; + \infty[}\) et celui de \(\displaystyle{- a}\) sur \(\displaystyle{]x_{1} ; x_{2}[}\)
» Etre attentif aux bornes fermées ou ouvertes (incluses ou exclues) des intervalles solutions.
» Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d’une expression.
» Lorsqu’un trinôme est facilement factorisable (ou déjà factorisé), on en déduit sa / ses racine(s) et son signe directement.
» Rappel des identités remarquables de rang \(\displaystyle{2}\) :
• \(\displaystyle{(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}}\)
• \(\displaystyle{(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}}\)
• \(\displaystyle{(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}}\)
» Soient le trinôme du second degré \(\displaystyle{ax^{2} + bx + c}\) (avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)), et son discriminant
• Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), le trinôme n’a pas de racine réelle ; son signe est celui de son coefficient \(\displaystyle{a}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
• Si \(\displaystyle{\Delta = 0}\), le trinôme a une racine double : \(\displaystyle{x_{1} = \frac{- b}{2a}}\) ; son signe est celui de \(\displaystyle{a}\)
• Si \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), le trinôme a deux racines réelles distinctes : \(\displaystyle{x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\) ; son signe est celui de \(\displaystyle{a}\) sur
» Etre attentif aux bornes fermées ou ouvertes (incluses ou exclues) des intervalles solutions.
» Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d’une expression.
» Lorsqu’un trinôme est facilement factorisable (ou déjà factorisé), on en déduit sa / ses racine(s) et son signe directement.
» Rappel des identités remarquables de rang \(\displaystyle{2}\) :
• \(\displaystyle{(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}}\)
• \(\displaystyle{(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}}\)
• \(\displaystyle{(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}}\)
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