Term S : Somme de termes et logarithme népérien
| Exercice 233 |
$$S_{n} = \ln\left( \frac{1}{2} \right) + \ln\left( \frac{2}{3} \right) + \ln\left( \frac{3}{4} \right) +… + \ln\left( \frac{n}{n + 1} \right) $$ Déterminer une expression simplifiée de \(\displaystyle{S_{n}}\).
Réviser les cours correspondants
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| Term S | Cours : Logarithme népérien, limites, dérivée, variations |
Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) non nul :
\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times… \times \frac{n}{n + 1} \right)}\)
On remarque que les numérateurs et dénominateurs des quotients \(\displaystyle{\frac{k}{k + 1}}\) se simplifient deux àdeux :
\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{\color{Red}{2}} \times \frac{\color{Red}{2}}{\color{Green}{3}} \times \frac{\color{Green}{3}}{\color{Orange}{4}} \times… \times \frac{\color{Blue}{n}}{n + 1} \right)}\)
On obtient finalement :
\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{n + 1} \right) = - \ln(n + 1)}\)
\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times… \times \frac{n}{n + 1} \right)}\)
On remarque que les numérateurs et dénominateurs des quotients \(\displaystyle{\frac{k}{k + 1}}\) se simplifient deux à
\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{\color{Red}{2}} \times \frac{\color{Red}{2}}{\color{Green}{3}} \times \frac{\color{Green}{3}}{\color{Orange}{4}} \times… \times \frac{\color{Blue}{n}}{n + 1} \right)}\)
On obtient finalement :
\(\displaystyle{S_{n} = \ln\left( \frac{1}{n + 1} \right) = - \ln(n + 1)}\)
Finalement, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) non nul : \(\displaystyle{S_{n} = - \ln(n + 1)}\)
Astuces à retenir et pièges à éviter
» 2. Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels strictement positifs :
• \(\displaystyle{\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)}\)
• \(\displaystyle{\ln(a) - \ln(b) = \ln\left( \frac{a}{b} \right)}\)
Attention :
• Il n’existe pas de formule pour \(\displaystyle{\ln(a + b)}\) ou \(\displaystyle{\ln(a - b)}\)
• Il n’existe pas de formule permettant de simplifier \(\displaystyle{\frac{\ln(a)}{\ln(b)}}\)
• Pour séparer l’expression \(\displaystyle{\ln(ab)}\) ou \(\displaystyle{\ln\left( \frac{a}{b} \right)}\), veiller à ce que les réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) soient strictement positifs.
» 2. Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels strictement positifs :
• \(\displaystyle{\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)}\)
• \(\displaystyle{\ln(a) - \ln(b) = \ln\left( \frac{a}{b} \right)}\)
Attention :
• Il n’existe pas de formule pour \(\displaystyle{\ln(a + b)}\) ou \(\displaystyle{\ln(a - b)}\)
• Il n’existe pas de formule permettant de simplifier \(\displaystyle{\frac{\ln(a)}{\ln(b)}}\)
• Pour séparer l’expression \(\displaystyle{\ln(ab)}\) ou \(\displaystyle{\ln\left( \frac{a}{b} \right)}\), veiller à ce que les réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) soient strictement positifs.
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