1ère S : Coordonnées polaires et angles orientés
| Exercice 123 |
• \(\displaystyle{OM = r}\)
• \(\displaystyle{( \overrightarrow{i}, \overrightarrow{OM}) = \theta}\)
\(\displaystyle{M}\) est le point de coordonnées polaires \(\displaystyle{M}\) \(\displaystyle{\left(4 ; \frac{\pi}{4} \right)}\) dans le repère \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )}\).
1. Déterminer les coordonnées polaires du point \(\displaystyle{I}\), milieu du segment \(\displaystyle{[OM]}\).
2. Déterminer les coordonnées polaires puis les coordonnées cartésiennes du point \(\displaystyle{P}\), tel que le triangle \(\displaystyle{OMP}\) soit rectangle isocèle direct en \(\displaystyle{P}\).
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| 1ère S | Cours : Trigonométrie, angles orientés, cosinus, sinus et équations trigonométriques |
1.
Le point \(\displaystyle{I}\), milieu du segment \(\displaystyle{[OM]}\), vérifie :
• \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OI}) = (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{4}}\)
• \(\displaystyle{OI = \frac{1}{2} OM = 2}\)
2. Pour déterminer les coordonnées polaires de \(\displaystyle{P}\), il faut calculer sa distance \(\displaystyle{r}\) et son angle\(\displaystyle{\theta}\).
• Calcul de la distance \(\displaystyle{r}\) du point \(\displaystyle{P}\)
La distance \(\displaystyle{r}\) est égale à la longueur \(\displaystyle{OP}\).
Le triangle \(\displaystyle{OMP}\) est rectangle isocèle en \(\displaystyle{P}\). On a donc, d’après la relation de Pythagore :
\(\displaystyle{OP^{2} + PM^{2} = OM^{2}}\)
Or : \(\displaystyle{OM^{2} = 16}\) et \(\displaystyle{OP = OM}\)
D’où : \(\displaystyle{2OP^{2} = 16 }\)
Et finalement : \(\displaystyle{OP = r = 2\sqrt{ 2 }}\)
• Calcul de l’angle \(\displaystyle{\theta}\) du point \(\displaystyle{P}\)
L’angle \(\displaystyle{\theta}\) est égal à l’angle \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OP})}\).
On sait que : \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{4}}\)
Or, sachant que le triangle \(\displaystyle{OPM}\) est rectangle isocèle en \(\displaystyle{P}\), on a :
• \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{MP} ; \overrightarrow{MO})}\)
• \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{MP} ; \overrightarrow{MO}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}}\)
Donc : \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = \frac{\pi}{4}}\)
Finalement, d’après la relation de Chasles pour les angles orientés :
\(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} }\)
Pour obtenir enfin les coordonnées cartésiennes \(\displaystyle{(x ; y)}\) du point \(\displaystyle{P}\), on calcule :
• \(\displaystyle{x = r \cos(\theta) = 2\sqrt{ 2 } \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0}\)
• \(\displaystyle{y = r \sin(\theta) = 2\sqrt{ 2 } \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\sqrt{ 2 }}\)
• \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OI}) = (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{4}}\)
• \(\displaystyle{OI = \frac{1}{2} OM = 2}\)
Les coordonnées polaires du point \(\displaystyle{I}\) dans le repère \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})}\) sont donc :
\(\displaystyle{\left(2 ;
\frac{\pi}{4}
\right)}\).
2. Pour déterminer les coordonnées polaires de \(\displaystyle{P}\), il faut calculer sa distance \(\displaystyle{r}\) et son angle
• Calcul de la distance \(\displaystyle{r}\) du point \(\displaystyle{P}\)
La distance \(\displaystyle{r}\) est égale à la longueur \(\displaystyle{OP}\).
Le triangle \(\displaystyle{OMP}\) est rectangle isocèle en \(\displaystyle{P}\). On a donc, d’après la relation de Pythagore :
\(\displaystyle{OP^{2} + PM^{2} = OM^{2}}\)
Or : \(\displaystyle{OM^{2} = 16}\) et \(\displaystyle{OP = OM}\)
D’où : \(\displaystyle{2OP^{2} = 16 }\)
Et finalement : \(\displaystyle{OP = r = 2\sqrt{ 2 }}\)
• Calcul de l’angle \(\displaystyle{\theta}\) du point \(\displaystyle{P}\)
L’angle \(\displaystyle{\theta}\) est égal à l’angle \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OP})}\).
On sait que : \(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{4}}\)
Or, sachant que le triangle \(\displaystyle{OPM}\) est rectangle isocèle en \(\displaystyle{P}\), on a :
• \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{MP} ; \overrightarrow{MO})}\)
• \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{MP} ; \overrightarrow{MO}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}}\)
Donc : \(\displaystyle{(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = \frac{\pi}{4}}\)
Finalement, d’après la relation de Chasles pour les angles orientés :
\(\displaystyle{(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{OP}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} }\)
Les coordonnées polaires du point \(\displaystyle{P}\) dans le repère \(\displaystyle{(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})}\) sont donc :
\(\displaystyle{\left(
2\sqrt{
2
}
;
\frac{\pi}{2}
\right)}\).
Pour obtenir enfin les coordonnées cartésiennes \(\displaystyle{(x ; y)}\) du point \(\displaystyle{P}\), on calcule :
• \(\displaystyle{x = r \cos(\theta) = 2\sqrt{ 2 } \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0}\)
• \(\displaystyle{y = r \sin(\theta) = 2\sqrt{ 2 } \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\sqrt{ 2 }}\)
Les coordonnées cartésiennes du point \(\displaystyle{P}\) sont finalement : \(\displaystyle{\left(0 ;
2\sqrt{
2
}
\right)}\).
Astuces à retenir et pièges à éviter
» 2. Etre attentif au sens du triangle, qui détermine l’ordre de ses sommets :
• Le sens direct, ou positif, est le sens opposé des aiguilles d’une montre ;
• Le sens indirect, ou négatif, est le sens des aiguilles d’une montre.
» 2. La somme des angles (en mesure principale) d’un triangle direct est égale à \(\displaystyle{\pi}\).
» 2. Pour passer des coordonnées polaires \(\displaystyle{(r ; \theta)}\) aux coordonnées cartésiennes \(\displaystyle{(x ; y)}\) d’un point, on utilise les relations :
• \(\displaystyle{x = r \cos(\theta)}\)
• \(\displaystyle{y = r \sin(\theta)}\)
» 2. Les valeurs remarquables du sinus et du cosinus, à connaître :
» 2. Etre attentif au sens du triangle, qui détermine l’ordre de ses sommets :
• Le sens direct, ou positif, est le sens opposé des aiguilles d’une montre ;
• Le sens indirect, ou négatif, est le sens des aiguilles d’une montre.
» 2. La somme des angles (en mesure principale) d’un triangle direct est égale à \(\displaystyle{\pi}\).
» 2. Pour passer des coordonnées polaires \(\displaystyle{(r ; \theta)}\) aux coordonnées cartésiennes \(\displaystyle{(x ; y)}\) d’un point, on utilise les relations :
• \(\displaystyle{x = r \cos(\theta)}\)
• \(\displaystyle{y = r \sin(\theta)}\)
» 2. Les valeurs remarquables du sinus et du cosinus, à connaître :
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