2nde | Cours : Probabilités, univers, événements contraires, incompatibles, équiprobabilité
| Chapitre 10 |
1. Expérience aléatoire
1.1. Univers
| Définition |
On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n’est pas prévisible de façon certaine.
| Exemple |
Le lancer d’un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n’est prévisible de façon certaine.
| Définition |
On appelle univers d’une expérience aléatoire, noté Ω (“omega”), l’ensemble des résultats possibles de l’expérience.
| Exemple |
L’univers de l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces est :
1.2. Evénements
| Définitions |
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.
On appelle événements élémentaires tous les résultats ω1 , ω2 , … , ωn composant l’ensemble Ω .
On appelle événements élémentaires tous les résultats ω1 , ω2 , … , ωn composant l’ensemble Ω .
Un événement A est une partie de Ω , c’est-à-dire une réunion de certains événements élémentaires.
| Illustration |
| Propriétés |
• Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément.
• On appelle événement contraire de l’événement A , noté A , l’ensemble des éléments de Ω qui ne sont pas dans A .
2. Probabilité sur un ensemble fini
2.1. Probabilité d’un événement
| Définition |
Soit un événement A .
La probabilité de A , notée P(A) , est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l’événement A .
La probabilité de A , notée P(A) , est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l’événement A .
| Propriétés |
• P(Ω) = 1
• P(∅) = 0
2.2. Réunion d’événements
| Théorème |
Soient A et B deux événements incompatibles :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
| Illustration |
| Théorème |
Soient A et B deux événements :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
| Illustration |
2.3. Evénement contraire
| Théorème |
Soit un événement A .
La probabilité de son événement contraire est égale à :
P(A) = 1 − P(A)
La probabilité de son événement contraire est égale à :
| Illustration |
2.4. Equiprobabilité
| Définition |
On appelle situation équiprobable une expérience où tous les événements de Ω ont la même probabilité d’être réalisés.
| Théorème |
En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est égale à :
P(A) =
| Nombre d’éléments de A |
| Nombre d’éléments de Ω |
» Vocabulaire : le nombre d’éléments de l’ensemble E est appelé cardinal de E, noté Card(E) .
| Exemple |
On lance un dé équilibré à 6 faces une fois. On appelle A l’événement : “faire un multiple de 3” .
Sachant que Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} , on en déduit que les seuls multiples de 3 possibles sont les faces 3 et 6 . L’événement A est donc constitué de deux événements élémentaires.
De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir.
On en conclut finalement : P(A) =
| Card(A) |
| Card(Ω) |
| 2 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
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