1ère ES | Cours : Probabilités, variables aléatoires, loi de Bernoulli et loi binomiale
| Chapitre 8 |
1. Probabilité sur un ensemble fini
1.1. Environnement probabiliste
| Définitions |
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.
On appelle événements élémentaires tous les résultats ω1 , ω2 , … , ωn composant l’ensemble Ω .
On appelle événements élémentaires tous les résultats ω1 , ω2 , … , ωn composant l’ensemble Ω .
Un événement est une partie de Ω , c’est-à-dire une réunion de certains événements élémentaires.
Soit un événement A .
La probabilité de A , notée P(A) , est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l’événement A .
La probabilité de A , notée P(A) , est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l’événement A .
| Illustration |
| Propriétés |
• P(Ω) = 1
• P(∅) = 0
1.2. Réunion d’événements
| Théorème |
Soient A et B deux événements incompatibles :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
| Illustration |
| Théorème |
Soient A et B deux événements :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
| Illustration |
1.3. Evénement contraire
| Théorème |
Soit un événement A .
La probabilité de son événement contraire, noté A , est égale à :
P(A) = 1 − P(A)
La probabilité de son événement contraire, noté A , est égale à :
| Illustration |
2. Combinatoire
2.1. Combinaisons et coefficients binomiaux
| Définition |
Soient un ensemble E de cardinal n (∈ ℕ*) et p un entier naturel inférieur ou égal à n .
Le nombre de parties de E possédant p éléments, appelées combinaisons de p éléments, est au coefficient binomial noté :
(
)
Le nombre de parties de E possédant p éléments, appelées combinaisons de p éléments, est au coefficient binomial noté :
| n |
| p |
| Propriétés |
Soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n .
• (
| n |
| 0 |
| n |
| n |
• (
| n |
| 1 |
| n |
| n − 1 |
• (
| n |
| 2 |
| n (n − 1) |
| 2 |
• (
| n |
| p |
| n |
| n − p |
• Formule de Pascal : si p < n , (
| n + 1 |
| p + 1 |
| n |
| p |
| n |
| p + 1 |
| Widget |
2.2. Triangle de Pascal
| Propriété |
La formule de Pascal permet de construire le triangle de Pascal, dont la ligne n recense successivement les valeurs :
| n |
| 0 |
| n |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n |
| n \ p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| … | … | … | … | … | … | … |
3. Lois de probabilité discrètes
3.1. Variables aléatoires
| Définitions |
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l’univers d’une expérience aléatoire.
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs : X(Ω) = {x1 , x2 , … , xn} .
La loi de probabilité de X associe à chaque réel xi la probabilité P(X = xi) .
La loi de probabilité de X associe à chaque réel xi la probabilité P(X = xi) .
» Notation : on présente en général une loi de probabilité à l’aide d’un tableau.
| xi | x1 | x2 | … | xn |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xi) | P(X = x1) | P(X = x2) | … | P(X = xn) |
» Remarque : P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xn) = 1
| Définition |
L’espérance d’une variable aléatoire X est le réel :
E(X) =
xi P(X = xi)
Soit :
E(X) = x1 P(X = x1) + x2 P(X = x2) + … + xn P(X = xn)
| n |
| Σ |
| i = 0 |
Soit :
| Propriété |
Pour tous réels a et b : E(aX + b) = aE(X) + b
| Définition |
La variance d’une variable aléatoire X est le réel :
V(X) =
[xi − E(X)]2 P(X = xi)
| n |
| Σ |
| i = 0 |
| Propriété |
Pour tous réels a et b : V(aX + b) = a2V(X)
| Définition |
L’écart-type d’une variable aléatoire X est le réel :
σ(X) =
√
| V(X) |
3.2. Loi de Bernoulli
| Définitions |
Soit un réel p compris entre 0 et 1 .
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :
• succès, de probabilité p
• échec, de probabilité 1 − p .
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :
• succès, de probabilité p
• échec, de probabilité 1 − p .
Soit un réel p compris entre 0 et 1 .
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p si :
• X(Ω) = {0 ; 1}
• P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p si :
• X(Ω) = {0 ; 1}
• P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p
| Théorème |
Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p , on a :
E(X) = p et V(X) = p(1 − p)
| Widget |
3.3. Loi binomiale
| Définition |
Soit un réel p compris entre 0 et 1 et n un entier naturel non nul .
Une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres n et p , notée B(n ; p) , si :
• X(Ω) = [[0 ; n]]
• ∀ k ∈ [[0 ; n]] , P(X = k) = (
)
pk (1 − p)n−k
Une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres n et p , notée B(n ; p) , si :
• X(Ω) = [[0 ; n]]
• ∀ k ∈ [[0 ; n]] , P(X = k) = (
| n |
| k |
| Théorème |
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p , on a :
E(X) = np et V(X) = np(1 − p)
| Widget |
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