1ère ES | Cours : Statistiques, moyenne, médiane, quartiles, variance et représentations
| Chapitre 7 |
1. Séries statistiques
1.1. Echantillonnage
| Définition |
Lorsqu’un l’effectif d’une population est trop important, on étudie ses caractères à partir d’un échantillon représentatif.
» Vocabulaire :
• Une population est un ensemble d’individus. les enfants nés à Paris en 2000 représentent une population par exemple ; les voitures produites dans une usine au cours du mois de février 2010 représentent également une population.
• Un caractère est une caractéristique qui définit les individus d’une population, et dont les valeurs sont différentes d’un individu à un autre de la population. La couleur, la taille, le poids, l’âge, la date de production sont des exemples des caractères.
• Un caractère peut être quantitatif (ses valeurs sont numériques : la taille par exemple) ou qualitatif (ses valeurs ne sont pas numériques : la couleur par exemple). L’étude statistique se concentre sur les caractères quantitatifs d’une population.
1.2. Série quantitative discrète
| Définition |
Soient n et p deux entier naturels non nuls et i un entier naturel compris entre 1 et p .
On appelle série quantitative discrète une liste de n réels : ce sont les valeurs d’un caractère pour chacun des individus composant l’échantillon d’effectif total n . Pour étudier une telle série, on compte le nombre d’apparition ni (effectif) de chaque réel de la liste, de manière à identifier p réels xi distincts. On présente alors la série sous la forme de p couples :
(xi ; ni)
On appelle série quantitative discrète une liste de n réels : ce sont les valeurs d’un caractère pour chacun des individus composant l’échantillon d’effectif total n . Pour étudier une telle série, on compte le nombre d’apparition ni (effectif) de chaque réel de la liste, de manière à identifier p réels xi distincts. On présente alors la série sous la forme de p couples :
» Notation : on présente en général une série quantitative discrète à l’aide d’un tableau.
| xi | x1 | x2 | … | xp |
|---|---|---|---|---|
| ni | n1 | n2 | … | np |
| Propriétés |
• Effectif total de la série : n =
| p |
| Σ |
| i = 1 |
• Fréquence de xi : fi =
| ni |
| n |
• Somme des fréquences :
| p |
| Σ |
| i = 1 |
1.3. Série quantitative regroupée en classes
| Définition |
Une série quantitative regroupée en classes, ou série continue, est une série quantitative dont les xi sont regroupés par intervalles de réels.
| Exemple |
| Taille (en cm) | [10 ; 20[ | [20 ; 25[ | [25 ; 40[ | [40 ; 50] |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 11 | 8 | 16 | 3 |
1.4. Série qualitative
| Définition |
Une série qualitative est une suite de valeurs d’un caractère non quantitatif.
| Exemple |
| Couleur | Rouge | Bleu | Vert | Jaune |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 12 | 28 | 7 | 13 |
2. Paramètres de position d’une série quantitative
2.1. Mode
| Définition |
On appelle mode(s) d’une série la ou les valeurs du caractère dont l’effectif est le plus grand.
» Remarque : une série peut avoir plusieurs modes.
2.2. Moyenne
| Définition |
On appelle moyenne d’une série, généralement notée x , le réel :
x =
| n1 x1 + n2 x2 + … + np xp |
| n |
» Remarque : pour une série regroupée en classes, on prend les centres des intervalles (classes) pour valeurs xi .
| Propriété |
x =
| p |
| Σ |
| i = 1 |
2.3. Médiane
| Définition |
On appelle médiane d’une série rangée par ordre croissant la valeur d’une série qui la partage en deux populations de même effectif.
| Propriété |
On considère une série dont les valeurs des n individus sont rangées par ordre croissant.
• Si n est impair, la médiane est égale à la
| n + 1 |
| 2 |
• Si n est pair, la médiane est égale au centre de l’intervalle
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
3. Paramètres de dispersion d’une série quantitative
3.1. Etendue
| Définition |
On appelle étendue d’une série la différence entre le plus grand des xi et le plus petit des xi .
3.2. Quartiles
| Définition |
On considère une série rangée par ordre croissant :
• Le premier quartile est la plus petite valeur, notée Q1 , telle qu’au moins 25% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
• Le troisième quartile est la plus petite valeur, notée Q3 , telle qu’au moins 75% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
• L’écart interquartile est le réel Q3 − Q1 .
• Le premier quartile est la plus petite valeur, notée Q1 , telle qu’au moins 25% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
• Le troisième quartile est la plus petite valeur, notée Q3 , telle qu’au moins 75% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
• L’écart interquartile est le réel Q3 − Q1 .
» Remarque : de manière analogue, on peut définir le premier décile D1 , l’avant-dernier décile D9 , et l’écart interdécile.
| Illustration |
3.3. Variance
| Définition |
On appelle variance d’une série, notée V , le réel :
V =
| n1(x1 − x)2 + … + np(xp − x)2 |
| n |
| Propriété |
V =
|
|||
| n |
| Définition |
On appelle écart-type d’une série, noté σ , le réel :
σ =
√
| V |
4. Représentations graphiques
4.1. Histogrammes
Consulter les exercices corrigés sur les Histogrammes.
4.2. Diagrammes en boîte
Consulter les exercices corrigés sur les Diagrammes en boîte.
4.3. Diagramme circulaire
Consulter les exercices corrigés sur les Diagrammes circulaires.
Pour compléter
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