1ère S | Cours : Vecteurs, coordonnées cartésiennes, vecteurs colinéaires
| Chapitre 6 |
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1. Coordonnées cartésiennes dans le repère
Le plan est rapporté à un repère (O ; i→ ; j→) .1.1. Coordonnées d’un point
| Définition |
Soit un point M du plan.
Il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que :
OM→ = x i→ + y j→
Le couple (x ; y) représente les coordonnées de M dans le repère.
Il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que :
Le couple (x ; y) représente les coordonnées de M dans le repère.
» Vocabulaire : le réel x est l’abscisse et le réel y est l’ordonnée du point M .
| Illustration |
1.2. Coordonnées d’un vecteur
| Définition |
Soit u→ un vecteur du plan.
Il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que :
u→ = x i→ + y j→
Le couple (x ; y) représente les coordonnées de u→ dans le repère.
Il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que :
Le couple (x ; y) représente les coordonnées de u→ dans le repère.
» Vocabulaire : le réel x est l’abscisse et le réel y est l’ordonnée du vecteur u→ .
» Remarque : à la différence d’un point, un vecteur du repère n’est pas “fixe”.
| Théorème |
Soient deux points du plan A (xA ; yA) et B (xB ; yB) .
Les coordonnées (x ; y) du vecteur AB→ vérifient :
Les coordonnées (x ; y) du vecteur AB→ vérifient :
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• x = xB − xA • y = yB − yA |
| Illustration |
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2. Vecteurs colinéaires
2.1. Définition
| Définition |
Deux vecteurs u→ et v→ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que :
u→ = k v→
| Théorème |
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles.
| Propriétés |
Soient A , B , C et D quatre points du plan.
• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB→ et CD→ sont colinéaires.
• Les points A , B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→ et BC→ sont colinéaires.
2.2. Caractérisation analytique
| Théorème |
Deux vecteurs u→ (x ; y) et v→ (x’ ; y’) sont colinéaires si et seulement si :
xy’ = x’y
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