1ère S | Cours : Suites, variations, représentation, suites arithmétiques et géométriques
| Chapitre 5 |
1. Etude globale d’une suite
1.1. Définition et représentation graphique
| Définition |
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ .
» Notations :
• Pour désigner la suite u , on peut écrire (un).
• L’écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u , c’est-à-dire u(n) .
| Définition |
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :
un = f(n)
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel a , une suite (un) peut être définie par récurrence pour tout entier naturel n par :
3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique … au sein d’un problème.
1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel a , une suite (un) peut être définie par récurrence pour tout entier naturel n par :
|
• u0 = a • pour tout entier naturel n , un+1 = f(un) |
3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique … au sein d’un problème.
| Exemple |
Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence, on trace au préalable :
• la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ;
• la droite d’équation y = x .
Puis :
 |
a. On place le premier terme de la suite sur l’axe des abscisses : u0 ici. |
 |
b. On place u1 sur l’axe des ordonnées en traçant l’image de u0 par f , car |
 |
c. On reporte enfin u1 sur l’axe des abscisses à l’aide de la droite d’équation |
Pour placer u2 , on réitère ce procédé à partir de u1 , et ainsi de suite.
1.2. Suite majorée, minorée, bornée
| Définitions |
La suite (un) est majorée si et seulement s’il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n :
un ≤ M
La suite (un) est minorée si et seulement s’il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n :
un ≥ m
La suite (un) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
1.3. Sens de variation
| Définitions |
La suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 ≥ un
La suite (un) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 > un
La suite (un) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 ≤ un
La suite (un) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 < un
La suite (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 = un
La suite (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).
2. Suites particulières
2.1. Suites arithmétiques
| Définition |
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier n où elle est définie :
un+1 = un + r
» Vocabulaire : le réel r est appelé raison de la suite.
| Théorèmes |
Soit (un) une suite arithmétique de raison r , définie à partir du rang p .
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
un = up + (n − p) r
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
un = u0 + nr
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
Soit (un) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :
u0 + u1 + u2 + … + un =
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :
| (n + 1) (u0 + un) |
| 2 |
| Propriété |
En particulier, pour tout entier naturel non nul n :
| n (n + 1) |
| 2 |
2.2. Suites géométriques
| Définition |
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout entier n où elle est définie :
un+1 = un x q
» Vocabulaire : le réel q est appelé raison de la suite.
| Théorèmes |
Soit (un) une suite géométrique de raison q , définie à partir du rang p .
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
un = up x qn−p
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
un = u0 x qn
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
Soit (un) une suite géométrique de raison q ≠ 1 , définie pour tout entier naturel n :
u0 + u1 + u2 + … + un = u0
Plus généralement, pour tout entier naturel p < n :
up + u1 + u2 + … + un = up
| 1 − qn+1 |
| 1 − q |
Plus généralement, pour tout entier naturel p < n :
| 1 − qn−p+1 |
| 1 − q |
| Propriété |
En particulier, pour tout réel q différent de 1 et tout entier naturel non nul n :
| 1 − qn+1 |
| 1 − q |
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