1ère S | Cours : Nombre dérivé, fonctions dérivées usuelles, tangentes et sens de variation
| Chapitre 4 |
1. Nombre dérivé
1.1. Taux d’accroissement
| Définitions |
Soit un réel a appartenant au domaine de définition d’une fonction f .
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d’accroissement ou taux de variation de f entre a eta + h le quotient :
En posant x = a + h , le taux d’accroissement entre x et a s’écrit :
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d’accroissement ou taux de variation de f entre a et
| f(a + h) − f(a) |
| h |
En posant x = a + h , le taux d’accroissement entre x et a s’écrit :
| f(x) − f(a) |
| x − a |
La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d’accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme).
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f’(a) :
limh → 0
=
limx → a
= f’(a)
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f’(a) :
| f(a + h) − f(a) |
| h |
| f(x) − f(a) |
| x − a |
| Propriété |
La fonction f est dérivable en a si et seulement s’il existe une fonction ε(h) de limite nulle en 0 telle que, pour tout réel h :
On a alors : f’(a) = λ
| Widget |
1.2. Tangente à une droite en un point
| Théorème |
Si f est dérivable en a , sa courbe représentative admet une tangente non verticale au point de coordonnées (a ; f(a)) , de coefficient directeur f’(a) , dont une équation est :
y = f’(a) (x − a) + f(a)
| Propriété |
La fonction x → f’(a) (x − a) + f(a) est l’approximation affine de f en a .
2. Fonction dérivée
2.1. Dérivée sur un intervalle
| Définition |
La fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f’ , qui a tout réel x associe f’(x) .
On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f’ , qui a tout réel x associe f’(x) .
| Propriété |
Si f est dérivable sur I , alors f est continue sur I .
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| Définition |
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I .
Si f’ est également dérivable sur I , la dérivée de f’ , notée f”, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d’ordre 2 de f .
Si f’ est également dérivable sur I , la dérivée de f’ , notée f”, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d’ordre 2 de f .
2.2. Dérivées des fonctions usuelles
Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df’ son domaine de dérivabilité.| f(x) | f’(x) | Df | Df’ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| λ | 0 | ℝ | ℝ | ||||
| x | 1 | ℝ | ℝ | ||||
| xn (n ≥ 1) | nxn−1 | ℝ | ℝ | ||||
|
−
| ℝ* | ℝ* | ||||
√
|
| ℝ+ | ℝ+* | ||||
| sin(x) | cos(x) | ℝ | ℝ | ||||
| cos(x) | − sin(x) | ℝ | ℝ |
2.3. Opérations sur les dérivées
Soit un réel λ ; on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .| f | f’ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| λu | λu’ | ||||
| u + v | u’ + v’ | ||||
| uv | u’v + uv’ | ||||
|
−
|
||||
|
|
2.4. Dérivée d’une fonction composée
| Théorème |
Soit une fonction u dérivable sur I et une fonction v dérivable en tout réel u(x) (x ∈ I) .
La fonction v o u(x) est alors dérivable sur I :
(v o u)’(x) = u’(x) v’(u(x))
La fonction v o u(x) est alors dérivable sur I :
| f | f’ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| un (n ≥ 1) | nu’un−1 | ||||
√
|
|
||||
| sin(u) | u’cos(u) | ||||
| cos(u) | − u’sin(u) |
3. Applications de la dérivation
3.1. Sens de variation d’une fonction
| Théorèmes |
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
• si f’ est positive sur I , alors f est croissante sur I .
• si f’ est négative sur I , alors f est décroissante sur I .
• si f’ est nulle sur I , alors f est constante sur I .
• si f’ est positive sur I , alors f est croissante sur I .
• si f’ est négative sur I , alors f est décroissante sur I .
• si f’ est nulle sur I , alors f est constante sur I .
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
• si f’ est positive et ne s’annule qu’en un nombre fini de réels sur I , alors f est strictement croissante sur I .
• si f’ est négative et ne s’annule qu’en un nombre fini de réels sur I , alors f est strictement décroissante sur I .
• si f’ est positive et ne s’annule qu’en un nombre fini de réels sur I , alors f est strictement croissante sur I .
• si f’ est négative et ne s’annule qu’en un nombre fini de réels sur I , alors f est strictement décroissante sur I .
3.2. Extremum local d’une fonction
| Théorème |
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :
• si f admet un extremum local en un réel a de I , alors f’(a) = 0 .
• Si f’ s’annule en changeant de signe en a , alors f(a) est un extremum local de f .
• si f admet un extremum local en un réel a de I , alors f’(a) = 0 .
• Si f’ s’annule en changeant de signe en a , alors f(a) est un extremum local de f .
» Remarque : f’ peut s’annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a . C’est par exemple le cas de la fonction cube en 0 .
| Corollaire |
 |
Si f admet un extremum local en a , alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d’abscisse a . |
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