1ère S | Cours : Généralités sur les fonctions, courbe, variations, parité et périodicité
| Chapitre 1 |
1. Existence et représentation graphique
1.1. Domaine de définition
| Définition |
Le domaine de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
1.2. Courbe représentative
| Définition |
La courbe représentative Cf d’une fonction f dans un repère du plan est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) , pour tous les réels x du domaine de définition de f .
| Illustration |
| Widget |
1.3. Signe d’une fonction
| Théorème |
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f(x) ≥ 0
| Propriété |
Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l’axe des abscisses pour tout réel de l’intervalle I .
| Illustration |
 |
La fonction représentée ci-contre est positive sur l’intervalle |
| Théorème |
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f(x) ≤ 0
| Propriété |
Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en-dessous de l’axe des abscisses pour tout réel de l’intervalle I .
| Illustration |
 |
La fonction représentée ci-contre est négative sur l’intervalle |
2. Comportement
2.1. Sens de variation
| Définitions |
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I , et pour tous réels x et y de I tels que x < y :
f(x) ≤ f(y)
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I , et pour tous réels x et y de I tels que x < y :
f(x) ≥ f(y)
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I , et pour tous réels x et y de I tels que x < y :
f(x) < f(y)
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I , et pour tous réels x et y de I tels que x < y :
f(x) > f(y)
Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I , et pour tout réel x de I , il existe un réel a tel que :
f(x) = a
| Illustrations |
 |
Allure de la courbe représentative d’une fonction croissante. |
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Allure de la courbe représentative d’une fonction décroissante. |
 |
Allure de la courbe représentative d’une fonction constante. |
2.2. Majorants et minorants
| Définitions |
Le réel M est un majorant de la fonction f (ou f est majorée par M ) sur l’intervalle I , si et seulement si, pour tout réel x de I :
f(x) ≤ M
Le réel m est un minorant de la fonction f (ou f est minorée par m ) sur l’intervalle I , si et seulement si, pour tout réel x de I :
f(x) ≥ m
2.3. Extremum
| Définitions |
Le maximum de la fonction f sur l’intervalle I est le plus grand réel f(x) sur I , s’il existe.
Le minimum de la fonction f sur l’intervalle I est le plus petit réel f(x) sur I , s’il existe.
» Vocabulaire : un extremum est un maximum ou un minimum.
| Propriétés |
• Le maximum de la fonction f sur l’intervalle I , s’il existe, est un majorant M qui est atteint par f : il existe un réel x0 tel que
• Le minimum de la fonction f sur l’intervalle I , s’il existe, est un minorant m qui est atteint par f : il existe un réel x0 tel que
| Illustrations |
 |
La fonction représentée ci-contre admet un maximum sur l’intervalle |
 |
La fonction représentée ci-contre admet un minimum sur l’intervalle |
| Widget |
3. Propriétés caractéristiques
3.1. Parité
| Définitions |
Une fonction f est paire si et seulement si :
|
• Df est symétrique par rapport à 0 ; • et pour tout réel x de Df , f(− x) = f(x) |
Une fonction f est impaire si et seulement si :
|
• Df est symétrique par rapport à 0 ; • et pour tout réel x de Df , f(− x) = − f(x) |
» Remarque : la plupart des fonctions sont en général ni paires ni impaires.
| Propriétés |
 |
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. |
 |
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère. |
3.2. Périodicité
| Définition |
Soit T un réel non nul.
Une fonction f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si, pour tout réel x de Df :
Une fonction f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si, pour tout réel x de Df :
|
• x + T ∈ Df ; • et f(x + T) = f(x) |
| Propriété |
 |
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction périodique est invariante par la translation de vecteur Ti→ . |
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