Term ES Spé | Cours : Suites, limites, sommes arithmétiques et géométriques
| Chapitre 2 |
1. Etude globale d’une suite
1.1. Définition et représentation graphique
| Définition |
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ .
» Notations :
• Pour désigner la suite u , on peut écrire (un).
• L’écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u , c’est-à-dire u(n) .
| Définition |
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :
un = f(n)
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel a , une suite (un) peut être définie par récurrence pour tout entier naturel n par :
3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique … au sein d’un problème.
1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel a , une suite (un) peut être définie par récurrence pour tout entier naturel n par :
|
• u0 = a • pour tout entier naturel n , un+1 = f(un) |
3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique … au sein d’un problème.
| Exemple |
Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence, on trace au préalable :
• la courbe représentative de la fonction f qui définit la récurrence ;
• la droite d’équation y = x .
Puis :
 |
a. On place le premier terme de la suite sur l’axe des abscisses : u0 ici. |
 |
b. On place u1 sur l’axe des ordonnées en traçant l’image de u0 par f , car |
 |
c. On reporte enfin u1 sur l’axe des abscisses à l’aide de la droite d’équation |
Pour placer u2 , on réitère ce procédé à partir de u1 , et ainsi de suite.
1.2. Suite majorée, minorée, bornée
| Définitions |
La suite (un) est majorée si et seulement s’il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n :
un ≤ M
La suite (un) est minorée si et seulement s’il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n :
un ≥ m
La suite (un) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
1.3. Sens de variation
| Définitions |
La suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 ≥ un
La suite (un) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 > un
La suite (un) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 ≤ un
La suite (un) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 < un
La suite (un) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n :
un+1 = un
La suite (un) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).
2. Limites
2.1. Suite convergente
| Définition |
La suite (un) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.
» Remarque : la limite d’une suite ne peut être étudiée qu’en + ∞ .
| Exemple |
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par : un =
| 1 |
| n |
On a : limn → +∞
| 1 |
| n |
Donc (un) est convergente.
| Définition |
La suite (un) est divergente si et seulement si elle n’est pas convergente, c’est-à-dire si sa limite est ± ∞ ou si elle n’admet pas de limite.
| Exemple |
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par : un = (− 1)n
La suite (un) étant alternée (1 , − 1 , 1 , − 1 , etc.), elle n’admet pas de limite.
| Théorèmes |
Si la suite (un) converge vers le réel L , alors ce réel est unique et est appelé limite de la suite.
Soient une fonction f , une suite (un) , a et b deux réels ou + ∞ ou − ∞ , avec :
• la suite (un) est telle que limn → +∞ un = a
• la fonction f est telle que limx → a f(x) = b
alors limn → +∞ f(un) = b .
• la suite (un) est telle que limn → +∞ un = a
• la fonction f est telle que limx → a f(x) = b
alors limn → +∞ f(un) = b .
| Propriété |
Les limites de fonctions usuelles ainsi que les opérations sur les limites de fonctions s’appliquent aux suites.
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2.2. Comparaison et encadrement
| Théorèmes |
Soient (un) et (vn) deux suites telles qu’à partir d’un certain rang, un ≤ vn .
Si (un) converge vers le réel L et (vn) converge vers le réel L’ , alors :
L ≤ L’
Si (un) converge vers le réel L et (vn) converge vers le réel L’ , alors :
Soient (un) et (vn) deux suites telles qu’à partir d’un certain rang, un ≤ vn :
• si limn → +∞ un = + ∞ , alors par théorème de comparaison, limn → +∞ vn = + ∞ .
• si limn → −∞ vn = − ∞ , alors par théorème de comparaison, limn → −∞ un = − ∞ .
• si limn → +∞ un = + ∞ , alors par théorème de comparaison, limn → +∞ vn = + ∞ .
• si limn → −∞ vn = − ∞ , alors par théorème de comparaison, limn → −∞ un = − ∞ .
Soient (un) , (vn) et (wn) trois suites telles qu’à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn .
Si (un) et (wn) convergent vers le même réel L , alors par théorème d’encadrement (vn) converge vers L .
Si (un) et (wn) convergent vers le même réel L , alors par théorème d’encadrement (vn) converge vers L .
3. Suites particulières
3.1. Suites arithmétiques
| Définition |
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier n où elle est définie :
un+1 = un + r
» Vocabulaire : le réel r est appelé raison de la suite.
| Théorèmes |
Soit (un) une suite arithmétique de raison r , définie à partir du rang p .
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
un = up + (n − p) r
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
un = u0 + nr
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r :
• si r > 0 , la suite tend vers + ∞ ;
• si r < 0 , la suite tend vers − ∞ ;
• si r = 0 , la suite est constante.
• si r > 0 , la suite tend vers + ∞ ;
• si r < 0 , la suite tend vers − ∞ ;
• si r = 0 , la suite est constante.
Soit (un) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :
u0 + u1 + u2 + … + un =
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale à la demi-somme du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. En particulier :
| (n + 1) (u0 + un) |
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3.2. Suites géométriques
| Définition |
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout entier n où elle est définie :
un+1 = un x q
» Vocabulaire : le réel q est appelé raison de la suite.
| Théorèmes |
Soit (un) une suite géométrique de raison q , définie à partir du rang p .
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
un = up x qn−p
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
un = u0 x qn
Pour tout entier n supérieur ou égal à p , son terme général est égal à :
En particulier, si (un) est définie dès le rang 0 :
La limite de la suite géométrique de terme général qn dépend de la valeur de q :
• si − 1 < q < 1 , alors limn → +∞ qn = 0
• si q = 1 , alors limn → +∞ qn = 1
• si q = − 1 , alors qn est alternée (vaut 1 ou − 1 suivant la parité de n) et n’a pas de limite
• si q > 1 , alors limn → +∞ qn = + ∞
• si q < − 1 , alors qn est alternée et n’a pas de limite.
• si − 1 < q < 1 , alors limn → +∞ qn = 0
• si q = 1 , alors limn → +∞ qn = 1
• si q = − 1 , alors qn est alternée (vaut 1 ou − 1 suivant la parité de n) et n’a pas de limite
• si q > 1 , alors limn → +∞ qn = + ∞
• si q < − 1 , alors qn est alternée et n’a pas de limite.
Soit (un) une suite géométrique de raison q ≠ 1 , définie pour tout entier naturel n :
u0 + u1 + u2 + … + un = u0
Plus généralement, pour tout entier naturel p < n :
up + u1 + u2 + … + un = up
| 1 − qn+1 |
| 1 − q |
Plus généralement, pour tout entier naturel p < n :
| 1 − qn−p+1 |
| 1 − q |
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