Term ES | Cours : Limites de fonctions usuelles, opérations, indéterminations et asymptotes
| Chapitre 2 |
1. Limite d’une fonction en l’infini
1.1. Limite finie
| Définition |
• Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers + ∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L , il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0 , f(x) appartient à cet intervalle.
• Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers − ∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L , il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0 , f(x) appartient à cet intervalle.
• Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers − ∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L , il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0 , f(x) appartient à cet intervalle.
» Notations :
• limx → +∞ f(x) = L ou lim+∞ f = L
• limx → −∞ f(x) = L ou lim−∞ f = L
| Propriété |
• Quand elle existe, la limite d’une fonction en l’infini est unique.
1.2. Limite infinie
| Définition |
• Une fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0 , f(x) > A .
• Une fonction f tend vers − ∞ quand x tend vers + ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0 , f(x) < A .
• Une fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers − ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0 , f(x) > A .
• Une fonction f tend vers − ∞ quand x tend vers − ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0 , f(x) < A .
• Une fonction f tend vers − ∞ quand x tend vers + ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0 , f(x) < A .
• Une fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers − ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0 , f(x) > A .
• Une fonction f tend vers − ∞ quand x tend vers − ∞ si, pour tout réel A , il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0 , f(x) < A .
» Notations :
• limx → +∞ f(x) = + ∞ ou lim+∞ f = + ∞
• limx → +∞ f(x) = − ∞ ou lim+∞ f = − ∞
• limx → −∞ f(x) = + ∞ ou lim−∞ f = + ∞
• limx → −∞ f(x) = − ∞ ou lim−∞ f = − ∞
| Propriété |
• Quand elle existe, la limite d’une fonction en l’infini est unique.
2. Limite d’une fonction en un réel a
2.1. Limite finie
| Définition |
• Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers le réel a si, pour tout intervalle ouvert centré en L , il existe un voisinage de a tel que pour tous les x appartenant à ce voisinage, f(x) appartient à cet intervalle.
» Notations :
• limx → a f(x) = L ou lim a f = L
| Propriété |
• Quand elle existe, la limite d’une fonction en un réel est unique.
2.2. Limite infinie
| Définition |
• Une fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A , il existe un voisinage de a tel que pour tous les x appartenant à ce voisinage, f(x) > A .
• Une fonction f tend vers − ∞ quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A , il existe un voisinage de a tel que pour tous les x appartenant à ce voisinage, f(x) < A .
• Une fonction f tend vers − ∞ quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A , il existe un voisinage de a tel que pour tous les x appartenant à ce voisinage, f(x) < A .
» Notations :
• limx → a f(x) = + ∞ ou lim a f = + ∞
• limx → a f(x) = − ∞ ou lim a f = − ∞
| Propriété |
• Quand elle existe, la limite d’une fonction en un réel est unique.
2.3. Limite à gauche et à droite
| Définition |
On peut étudier la limite d’une fonction en un réel a :
• par valeurs inférieures à ce réel (on parle de limite à gauche de a)
• par valeurs supérieures à ce réel (on parle de limite à droite de a)
• par valeurs inférieures à ce réel (on parle de limite à gauche de a)
• par valeurs supérieures à ce réel (on parle de limite à droite de a)
» Notations :
• limx → a− ou limx
| → < |
• limx → a+ ou limx
| → > |
3. Règles d’opérations
3.1. Limites des fonctions usuelles
| Propriété |
• Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, sinus et cosinus admettent une limite finie en tout réel a de leur ensemble de définition, qui est égale à leur valeur en a .
• La limite en ∞ d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
• La limite en ∞ d’une fonction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
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3.2. Limite d’une somme
On désigne par α un réel, + ∞ ou − ∞ . On désigne par L et L’ deux réels.Les fonctions f , g et f + g sont définies au voisinage de α .
| Limite de f en α | L | L | L | + ∞ | − ∞ | + ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en α | L’ | + ∞ | − ∞ | + ∞ | − ∞ | − ∞ |
| Limite de f + g en α | L + L’ | + ∞ | − ∞ | + ∞ | − ∞ | ? |
» Remarque : en jaune sont surlignées les formes indéterminées, c’est-à-dire les configurations pour lesquelles les règles opératoires sur les limites ne permettent par de conclure. Il faut alors modifier l’expression pour en déterminer la limite.
3.3. Limite d’un produit
On désigne par α un réel, + ∞ ou − ∞ . On désigne par L et L’ deux réels.Les fonctions f , g et f x g sont définies au voisinage de α .
| Limite de f en α | L | 0 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en α | L’ | ||||||||
| Limite de f x g en α | ? |
3.4. Limite d’un quotient
On désigne par α un réel, + ∞ ou − ∞ . On désigne par L et L’ deux réels.Les fonctions f , g et
| f |
| g |
| Limite de f en α | L | L | 0 | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de g en α | 0 | 0+ | 0− | 0+ | 0− | |||||||||||
Limite de
|
| 0 | ? | ? | ||||||||||||
3.5. Limite d’une fonction composée
Soient α , β et γ trois réels ou + ∞ ou − ∞ .| Théorème |
Si limx → α g(x) = β et limx → β f(x) = γ alors
limx → α f o g(x) = γ .
4. Limites et ordre
4.1. Théorème d’encadrement
On désigne par α un réel, + ∞ ou − ∞ . On désigne par L un réel.
| Théorème |
Soient f , g et h trois fonctions telles que sur un voisinage de α , f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) .
Si limx → α f(x) = L et limx → α h(x) = L alors limx → α g(x) = L .
Si limx → α f(x) = L et limx → α h(x) = L alors limx → α g(x) = L .
4.2. Théorème de comparaison
On désigne par α un réel, + ∞ ou − ∞ . On désigne par L un réel.
| Théorèmes |
Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de α , f(x) ≤ g(x) .
Si limx → α f(x) = L et limx → α g(x) = L’ alorsL ≤ L’ .
Si limx → α f(x) = L et limx → α g(x) = L’ alors
Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de α , f(x) ≤ g(x) :
• si limx → α f(x) = + ∞ , alors par théorème de comparaison, limx → α g(x) = + ∞ .
• si limx → α g(x) = − ∞ , alors par théorème de comparaison, limx → α f(x) = − ∞ .
• si limx → α f(x) = + ∞ , alors par théorème de comparaison, limx → α g(x) = + ∞ .
• si limx → α g(x) = − ∞ , alors par théorème de comparaison, limx → α f(x) = − ∞ .
5. Asymptotes
Soit f une fonction, on désigne par C sa courbe représentative, et par a , b et c trois réels.5.1. Asymptotes horizontales
| Définition |
La droite d’équation y = L est asymptote horizontale à C en + ∞ si et seulement si :
limx → +∞ f(x) = L
| Illustration |
| Définition |
La droite d’équation y = L est asymptote horizontale à C en − ∞ si et seulement si :
limx → −∞ f(x) = L
| Illustration |
» Remarque : une même droite peut être asymptote horizontale à C en + ∞ et en − ∞ .
5.2. Asymptotes verticales
| Définition |
La droite d’équation x = a est asymptote verticale à C si et seulement si :
limx → a− f(x) = ± ∞
ou
limx → a+ f(x) = ± ∞
| Illustration |
» Remarque : une même droite peut être asymptote verticale à C à gauche et à droite de a .
5.3. Asymptotes obliques
| Définition |
La droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C en + ∞ si et seulement si :
limx → +∞ (f(x) − (ax + b)) = 0
| Illustration |
| Définition |
La droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C en − ∞ si et seulement si :
limx → −∞ (f(x) − (ax + b)) = 0
| Illustration |
» Remarque : une même droite peut être asymptote oblique à C en + ∞ et en − ∞ .
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