Term ES | Cours : Convexité, concavité, point d’inflexion et dérivées
| Chapitre 5 |
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1. Comportement
1.1. Fonction convexe
| Définition |
Une fonction est convexe sur l’intervalle \(\displaystyle{I}\) si sa courbe représentative est intégralement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur \(\displaystyle{I}\).
| Illustration |
1.2. Fonction concave
| Définition |
Une fonction est concave sur l’intervalle \(\displaystyle{I}\) si sa courbe représentative est intégralement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur \(\displaystyle{I}\).
| Illustration |
1.3. Point d’inflexion
| Définition |
La courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion si la fonction change de convexité en ce point. Graphiquement, un point d’inflexion est un point où la courbe représentative traverse sa tangente.
| Illustration |
2. Convexité et dérivée
2.1. Convexité et variations de la dérivée
| Théorème |
Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable sur l’intervalle \(\displaystyle{I}\) :
• \(\displaystyle{f}\) est convexe sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f’}\) est croissante sur \(\displaystyle{I}\).
• \(\displaystyle{f}\) est concave sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f’}\) est décroissante sur \(\displaystyle{I}\).
• \(\displaystyle{f}\) est convexe sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f’}\) est croissante sur \(\displaystyle{I}\).
• \(\displaystyle{f}\) est concave sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f’}\) est décroissante sur \(\displaystyle{I}\).
2.2. Convexité et dérivée seconde
| Théorèmes |
Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable deux fois sur l’intervalle \(\displaystyle{I}\) :
• \(\displaystyle{f}\) est convexe sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f”}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\).
• \(\displaystyle{f}\) est concave sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f”}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\).
• \(\displaystyle{f}\) est convexe sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f”}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\).
• \(\displaystyle{f}\) est concave sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si \(\displaystyle{f”}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\).
Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable deux fois sur l’intervalle \(\displaystyle{I}\).
La courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) admet un point d’inflexion en \(\displaystyle{A}\) (\(\displaystyle{a ; f(a)}\)) si et seulement si \(\displaystyle{f”}\) s’annule en \(\displaystyle{a}\) en changeant de signe.
La courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) admet un point d’inflexion en \(\displaystyle{A}\) (\(\displaystyle{a ; f(a)}\)) si et seulement si \(\displaystyle{f”}\) s’annule en \(\displaystyle{a}\) en changeant de signe.
Term ES Spé | Cours : Matrices, produit de matrices, résolution de systèmes, matrice inverse
| Chapitre 1 |
1. Définition et premières propriétés
1.1. Définitions
| Définition |
Soient \(\displaystyle{m}\) et \(\displaystyle{n}\) deux entiers naturels non nuls. Une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille ou de format (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) à coefficients réels est un tableau de réels composé de \(\displaystyle{m}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes.
Le terme situé sur la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne et la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne est appelé terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)).
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule ligne, est appelée matrice-ligne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule colonne, est appelée matrice-colonne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire possédant \(\displaystyle{n}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes, est appelée matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\).
• Les termes de positions (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)) d’une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.
Le terme situé sur la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne et la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne est appelé terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)).
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule ligne, est appelée matrice-ligne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule colonne, est appelée matrice-colonne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire possédant \(\displaystyle{n}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes, est appelée matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\).
• Les termes de positions (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)) d’une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.
» Remarque : on considère qu’une matrice composée d’une ligne et d’une colonne est un réel.
| Exemple |
Soit \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \cr -1 & 1 & 5,6 \end{pmatrix}}\)
• \(\displaystyle{A}\) est une matrice de taille (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)).
• Le terme de position (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{3}\)) de \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{4}\).
• Le terme de position (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)) de \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{5,6}\).
Soit \(\displaystyle{B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}}\)
• \(\displaystyle{B}\) est une matrice-ligne de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{4}\)).
Soit \(\displaystyle{C = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -2 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}}\)
• \(\displaystyle{C}\) est une matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{5}\), \(\displaystyle{1}\)).
| Théorème |
Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients sont deux à deux égaux en toute position.
1.2. Propriétés opératoires
| Propriétés |
• Somme : pour sommer deux matrices de même format, on additionne à chaque position leurs termes deux à deux.
• Multiplication par un réel : soient \(\displaystyle{A}\) une matrice et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel, on calcule la matrice \(\displaystyle{\lambda A}\) est multipliant tous les termes de \(\displaystyle{A}\) par \(\displaystyle{\lambda}\).
2. Produit matriciel
2.1. Principe
| Définition |
On considère une matrice-ligne \(\displaystyle{L =
\begin{pmatrix}
a_1 & \cdots & a_n
\end{pmatrix}
}\) et une matrice-colonne \(\displaystyle{C =
\begin{pmatrix}
b_1 \cr \vdots \cr b_n
\end{pmatrix}
}\).
Le produit \(\displaystyle{L \times C}\), noté \(\displaystyle{LC}\), est un réel égal à : $$ LC = a_1 b_1 +… + a_n b_n $$
Le produit \(\displaystyle{L \times C}\), noté \(\displaystyle{LC}\), est un réel égal à : $$ LC = a_1 b_1 +… + a_n b_n $$
| Exemple |
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \cr 8 \cr -1 \end{pmatrix} = 1 \times (-3) + 0 \times 8 + (-2) \times (-1) = -1 }\)
| Définition |
On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) et une matrice \(\displaystyle{B}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{p}\)).
Le produit \(\displaystyle{AB}\) est égal à la matrice \(\displaystyle{C}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{p}\)) telle que le terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)) de \(\displaystyle{C}\) est égal au produit de la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne de \(\displaystyle{AA}\) par la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne de \(\displaystyle{B}\).
Le produit \(\displaystyle{AB}\) est égal à la matrice \(\displaystyle{C}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{p}\)) telle que le terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)) de \(\displaystyle{C}\) est égal au produit de la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne de \(\displaystyle{AA}\) par la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne de \(\displaystyle{B}\).
» Remarque : le produit de deux matrices n’existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Ce qui signifie que le produit matriciel n’est pas commutatif : l’ordre de multiplication est important.
| Exemple |
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \color{Blue}{-1} & \color{Blue}{4} & \color{Blue}{3} \cr … &… &… \end{pmatrix} \begin{pmatrix} … & \color{Green}{2} &… \cr … & \color{Green}{0} &… \cr … & \color{Green}{1} &… \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} … & \color{Red}{1} &… \cr … &… &… \end{pmatrix} }\)
Détail du calcul : \(\displaystyle{ \color{Red}{1} = \color{Blue}{-1} \times \color{Green}{2} + \color{Blue}{4} \times \color{Green}{0} + \color{Blue}{3} \times \color{Green}{1} }\)
| Théorème |
On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)) formées des colonnes \(\displaystyle{A_1}\),…, \(\displaystyle{A_n}\), et une matrice-colonne \(\displaystyle{X =
\begin{pmatrix}
x_1 \cr \vdots \cr x_n
\end{pmatrix}
}\)
.
Le produit \(\displaystyle{AX}\) est égal à la matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)) :
$$ AX = x_1 A_1 +… + x_n A_n $$
Le produit \(\displaystyle{AX}\) est égal à la matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)) :
$$ AX = x_1 A_1 +… + x_n A_n $$
2.2. Expression matricielle d’un système
| Propriété |
Soit \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\), \(\displaystyle{c}\), \(\displaystyle{d}\), \(\displaystyle{s}\) et \(\displaystyle{t}\) des réels. Le système \(\displaystyle{ \begin{cases} ax + by = s \cr cx + dy = t \end{cases} }\) est équivalent aux équations matricielles :
$$ \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} \text{ ou } x \begin{pmatrix} a \cr c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \cr d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} $$
3. Matrices carrées
3.1. Matrices remarquables
| Définitions |
On appelle matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\) une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)).
On appelle diagonale d’une matrice carrée les coefficients de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)).
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls :
$$ \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $$
On appelle matrice identité d’ordre \(\displaystyle{n}\) la matrice carrée \(\displaystyle{I_n}\) d’ordre \(\displaystyle{n}\) formée d’une diagonale de \(\displaystyle{1}\) et de coefficients nuls ailleurs :
$$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
» Remarque : la matrice identité est une matrice diagonale ; elle joue le rôle de 1 dans le produit matriciel.
On appelle matrice nulle d’ordre \(\displaystyle{n}\), notée \(\displaystyle{(0)_n}\), la matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\) dont tous les coefficients sont nuls.
3.2. Opérations
| Propriétés |
Soient \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) et \(\displaystyle{C}\) trois matrices carrées d’ordre \(\displaystyle{n}\), et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel.
• \(\displaystyle{ \lambda (AB) = (\lambda A) B = A (\lambda B)}\)
• Associativité : \(\displaystyle{A(BC) = (AB) C}\)
• Distributivité : \(\displaystyle{ A(B+C) = AB + AC }\) et \(\displaystyle{ (B+C) A = BA + CA }\)
• \(\displaystyle{ A I_n = I_n A = A }\)
• \(\displaystyle{ (0)_n = (0)_n A = (0)_n }\)
| Définition |
Deux matrices carrées \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) d’ordre \(\displaystyle{n}\) commutent si et seulement si :
$$ AB = BA $$
$$ AB = BA $$
» Attention :
• En général, \(\displaystyle{ AB \neq BA }\).
• \(\displaystyle{AB}\) peut être nulle sans que ni \(\displaystyle{A}\) ni \(\displaystyle{B}\) ne soit nulle.
• \(\displaystyle{AB = AC}\) n’implique pas nécessairement que \(\displaystyle{B=C}\).
3.3. Puissances
| Définition |
Soient \(\displaystyle{A}\) une matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel non nul, on définit les puissances de \(\displaystyle{A}\) :
$$ A^k = \underbrace{ A \times… \times A }_{k} $$
$$ A^k = \underbrace{ A \times… \times A }_{k} $$
» Remarque : par convention, \(\displaystyle{ A^0 = I_n }\).
| Propriété |
Pour tous entiers naturels non nuls \(\displaystyle{k}\) et \(\displaystyle{r}\) : \(\displaystyle{ A^k \times A^r = A^{k+r} }\)
3.4. Inverse d’une matrice
| Définition |
La matrice carrée \(\displaystyle{A}\) d’ordre \(\displaystyle{n}\) est inversible si et seulement s’il existe une matrice \(\displaystyle{B}\) telle que :
$$ AB = BA = I_n $$ La matrice \(\displaystyle{B}\) est alors appelée matrice inverse de \(\displaystyle{A}\) et est notée \(\displaystyle{A^{-1}}\). Elle est unique.
$$ AB = BA = I_n $$ La matrice \(\displaystyle{B}\) est alors appelée matrice inverse de \(\displaystyle{A}\) et est notée \(\displaystyle{A^{-1}}\). Elle est unique.
Term ES | Cours : Lois à densité, lois normales, intervalle de fluctuation et intervalle de confiance
| Chapitre 11 |
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1. Lois à densité
1.1. Densité de probabilité
| Définition |
Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction définie sur un intervalle \(\displaystyle{I = [a ; + \infty[}\), positive et continue sur \(\displaystyle{I}\), telle que :
\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \int_{a}^{x} f(t) \ \mathrm dt = 1}\)
Alors, en posant pour tout réel \(\displaystyle{b}\) de \(\displaystyle{I}\) : \(\displaystyle{P([a ; b]) = \int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt}\), on définit une loi de probabilité continue sur \(\displaystyle{I}\). La fonction \(\displaystyle{f}\) est la densité de probabilité de cette loi.
\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \int_{a}^{x} f(t) \ \mathrm dt = 1}\)
Alors, en posant pour tout réel \(\displaystyle{b}\) de \(\displaystyle{I}\) : \(\displaystyle{P([a ; b]) = \int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt}\), on définit une loi de probabilité continue sur \(\displaystyle{I}\). La fonction \(\displaystyle{f}\) est la densité de probabilité de cette loi.
» Notation : \(\displaystyle{P([a ; b]) = P(X \in [a ; b]) = P(a \leqslant X \leqslant b)}\)
| Propriétés |
• \(\displaystyle{P([a ; b]) = P([a ; b[) = P(]a ; b]) = P(]a ; b[)}\)
• \(\displaystyle{P([a ; a]) = 0}\)
• \(\displaystyle{P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a) }\)
• \(\displaystyle{P(X \leqslant a) + P(X \leqslant -a) = 1 }\)
1.2. Loi uniforme sur \(\displaystyle{[a ; b]}\)
| Définition |
Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l’intervalle \(\displaystyle{[a ; b]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \(\displaystyle{[a ; b]}\) par :
$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$
$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l’intervalle \(\displaystyle{[a ; b]}\), alors pour tous réels \(\displaystyle{c}\) et \(\displaystyle{d}\) tels que \(\displaystyle{a \leqslant c \leqslant d \leqslant b }\) :
$$ P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d-c}{b-a} $$
$$ P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d-c}{b-a} $$
| Illustration |
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La valeur de \(\displaystyle{P([c ; d])}\) est égale à l’aire de la surface comprise entre la droite d’équation |
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l’intervalle \(\displaystyle{[a ; b]}\), son espérance est alors égale à :
$$ E(X) = \frac{a+b}{2} $$
$$ E(X) = \frac{a+b}{2} $$
1.3. Loi normale centrée réduite
| Définition |
Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite notée \(\displaystyle{\mathcal{N}(0;1)}\) si elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, alors :
$$ P(X \leqslant a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
$$ P(X \leqslant a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
| Illustration |
 |
La valeur de \(\displaystyle{P(X \leqslant a)}\) est égale à l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation |
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel \(\displaystyle{\alpha}\) de \(\displaystyle{]0;1[}\) il existe un unique réel positif \(\displaystyle{u_{\alpha}}\) tel que :
$$ P(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha $$
$$ P(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha $$
| Illustration |
| Théorèmes |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :
$$ E(X) = 0 $$
$$ E(X) = 0 $$
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors égale à :
$$ V(X) = 1 $$
$$ V(X) = 1 $$
1.4. Loi normale générale
| Définition |
Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\) (\(\displaystyle{\mu \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{\sigma \in \mathbb{R}^{+*}}\)) si la variable aléatoire \(\displaystyle{\frac{X-\mu}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.
| Théorèmes |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\), son espérance est alors égale à :
$$ E(X) = \mu $$
$$ E(X) = \mu $$
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\), sa variance est alors égale à :
$$ V(X) = \sigma^2 $$ et son écart-type est donc égale à \(\displaystyle{\sigma}\).
$$ V(X) = \sigma^2 $$ et son écart-type est donc égale à \(\displaystyle{\sigma}\).
| Illustration |
On observe que plus \(\displaystyle{\sigma}\) augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\) est aplatie. De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c’est-à-dire la droite d’équation \(\displaystyle{x=\mu}\).
» Remarque : si \(\displaystyle{\mu=0}\) et \(\displaystyle{\sigma=1}\), on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :
$$ P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,68 $$ $$ P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95 $$ $$ P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0,997 $$
$$ P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,68 $$ $$ P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95 $$ $$ P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0,997 $$
2. Estimation et statistique
2.1. Intervalles de fluctuation
| Définition |
Soient Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, \(\displaystyle{\alpha}\) un réel de \(\displaystyle{]0;1[}\) et \(\displaystyle{u_{\alpha}}\) l’unique réel positif tel que \(\displaystyle{P(-u_{\alpha} \leqslant Z \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha}\).
Si \(\displaystyle{X_n}\) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on pose :
$$ I_n = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] $$ et on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1-\alpha $$ L’intervalle \(\displaystyle{I_n}\) est appelé intervalle de fluctuation de \(\displaystyle{\frac{X_n}{n}}\) au seuil \(\displaystyle{1-\alpha}\), si les conditions suivantes sont satisfaites :
$$ n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5 $$
Si \(\displaystyle{X_n}\) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on pose :
$$ I_n = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] $$ et on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1-\alpha $$ L’intervalle \(\displaystyle{I_n}\) est appelé intervalle de fluctuation de \(\displaystyle{\frac{X_n}{n}}\) au seuil \(\displaystyle{1-\alpha}\), si les conditions suivantes sont satisfaites :
$$ n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5 $$
» Remarque : dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès \(\displaystyle{p}\) est connue.
2.2. Intervalles de confiance
| Définition |
On considère une expérience de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de succès \(\displaystyle{p}\). On appelle \(\displaystyle{f_n}\) la fréquence d’apparition du succès après \(\displaystyle{n}\) répétitions indépendantes. Si \(\displaystyle{n \geqslant 30}\), \(\displaystyle{nf_n \geqslant 5}\) et \(\displaystyle{n(1-f_n) \geqslant 5}\), alors \(\displaystyle{p}\) appartient à l’intervalle suivant avec un niveau de confiance de \(\displaystyle{95\%}\) :
$$ \left[ f_n - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] $$
$$ \left[ f_n - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] $$
» Remarque : dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès \(\displaystyle{p}\) est inconnue.
Term S Spé | Cours : Matrices, produit matriciel, systèmes d’équations, inverse d’une matrice
| Chapitre 2 |
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1. Définition et premières propriétés
1.1. Définitions
| Définition |
Soient \(\displaystyle{m}\) et \(\displaystyle{n}\) deux entiers naturels non nuls. Une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille ou de format (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) à coefficients réels est un tableau de réels composé de \(\displaystyle{m}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes.
Le terme situé sur la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne et la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne est appelé terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)).
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule ligne, est appelée matrice-ligne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule colonne, est appelée matrice-colonne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire possédant \(\displaystyle{n}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes, est appelée matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\).
• Les termes de positions (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)) d’une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.
Le terme situé sur la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne et la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne est appelé terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)).
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule ligne, est appelée matrice-ligne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)), c’est-à-dire ne possédant qu’une seule colonne, est appelée matrice-colonne.
• Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)), c’est-à-dire possédant \(\displaystyle{n}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes, est appelée matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\).
• Les termes de positions (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)) d’une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.
» Remarque : on considère qu’une matrice composée d’une ligne et d’une colonne est un réel.
| Exemple |
Soit \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \cr -1 & 1 & 5,6 \end{pmatrix}}\)
• \(\displaystyle{A}\) est une matrice de taille (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)).
• Le terme de position (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{3}\)) de \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{4}\).
• Le terme de position (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)) de \(\displaystyle{A}\) est égal à \(\displaystyle{5,6}\).
Soit \(\displaystyle{B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}}\)
• \(\displaystyle{B}\) est une matrice-ligne de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{4}\)).
Soit \(\displaystyle{C = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -2 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}}\)
• \(\displaystyle{C}\) est une matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{5}\), \(\displaystyle{1}\)).
| Théorème |
Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients sont deux à deux égaux en toute position.
1.2. Propriétés opératoires
| Propriétés |
• Somme : pour sommer deux matrices de même format, on additionne à chaque position leurs termes deux à deux.
• Multiplication par un réel : soient \(\displaystyle{A}\) une matrice et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel, on calcule la matrice \(\displaystyle{\lambda A}\) est multipliant tous les termes de \(\displaystyle{A}\) par \(\displaystyle{\lambda}\).
2. Produit matriciel
2.1. Principe
| Définition |
On considère une matrice-ligne \(\displaystyle{L =
\begin{pmatrix}
a_1 & \cdots & a_n
\end{pmatrix}
}\) et une matrice-colonne \(\displaystyle{C =
\begin{pmatrix}
b_1 \cr \vdots \cr b_n
\end{pmatrix}
}\).
Le produit \(\displaystyle{L \times C}\), noté \(\displaystyle{LC}\), est un réel égal à :
$$ LC = a_1 b_1 +… + a_n b_n $$
Le produit \(\displaystyle{L \times C}\), noté \(\displaystyle{LC}\), est un réel égal à :
$$ LC = a_1 b_1 +… + a_n b_n $$
| Exemple |
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \cr 8 \cr -1 \end{pmatrix} = 1 \times (-3) + 0 \times 8 + (-2) \times (-1) = -1 }\)
| Définition |
On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) et une matrice \(\displaystyle{B}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{p}\)).
Le produit \(\displaystyle{AB}\) est égal à la matrice \(\displaystyle{C}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{p}\)) telle que le terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)) de \(\displaystyle{C}\) est égal au produit de la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne de \(\displaystyle{AA}\) par la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne de \(\displaystyle{B}\).
Le produit \(\displaystyle{AB}\) est égal à la matrice \(\displaystyle{C}\) de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{p}\)) telle que le terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)) de \(\displaystyle{C}\) est égal au produit de la \(\displaystyle{i}\)-ème ligne de \(\displaystyle{AA}\) par la \(\displaystyle{j}\)-ème colonne de \(\displaystyle{B}\).
» Remarque : le produit de deux matrices n’existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Ce qui signifie que le produit matriciel n’est pas commutatif : l’ordre de multiplication est important.
| Exemple |
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \color{Blue}{-1} & \color{Blue}{4} & \color{Blue}{3} \cr … &… &… \end{pmatrix} \begin{pmatrix} … & \color{Green}{2} &… \cr … & \color{Green}{0} &… \cr … & \color{Green}{1} &… \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} … & \color{Red}{1} &… \cr … &… &… \end{pmatrix} }\)
Détail du calcul : \(\displaystyle{ \color{Red}{1} = \color{Blue}{-1} \times \color{Green}{2} + \color{Blue}{4} \times \color{Green}{0} + \color{Blue}{3} \times \color{Green}{1} }\)
| Théorème |
On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)) formées des colonnes \(\displaystyle{A_1}\),…, \(\displaystyle{A_n}\), et une matrice-colonne \(\displaystyle{X =
\begin{pmatrix}
x_1 \cr \vdots \cr x_n
\end{pmatrix}
}\)
.
Le produit \(\displaystyle{AX}\) est égal à la matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)) :
$$ AX = x_1 A_1 +… + x_n A_n $$
Le produit \(\displaystyle{AX}\) est égal à la matrice-colonne de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)) :
$$ AX = x_1 A_1 +… + x_n A_n $$
2.2. Expression matricielle d’un système
| Propriété |
Soit \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\), \(\displaystyle{c}\), \(\displaystyle{d}\), \(\displaystyle{s}\) et \(\displaystyle{t}\) des réels. Le système \(\displaystyle{ \begin{cases} ax + by = s \cr cx + dy = t \end{cases} }\) est équivalent aux équations matricielles :
$$ \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} \text{ ou } x \begin{pmatrix} a \cr c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \cr d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} $$
3. Matrices carrées
3.1. Matrices remarquables
| Définitions |
On appelle matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\) une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)).
On appelle diagonale d’une matrice carrée les coefficients de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)).
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls :
$$ \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $$ On note : \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,…, a_n) }\).
$$ \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $$ On note : \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,…, a_n) }\).
On appelle matrice identité d’ordre \(\displaystyle{n}\) la matrice carrée \(\displaystyle{I_n}\) d’ordre \(\displaystyle{n}\) formée d’une diagonale de \(\displaystyle{1}\) et de coefficients nuls ailleurs :
$$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
» Remarque : la matrice identité est une matrice diagonale ; elle joue le rôle de 1 dans le produit matriciel.
On appelle matrice nulle d’ordre \(\displaystyle{n}\), notée \(\displaystyle{(0)_n}\), la matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\) dont tous les coefficients sont nuls.
3.2. Opérations
| Propriétés |
Soient \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) et \(\displaystyle{C}\) trois matrices carrées d’ordre \(\displaystyle{n}\), et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel.
• \(\displaystyle{ \lambda (AB) = (\lambda A) B = A (\lambda B)}\)
• Associativité : \(\displaystyle{A(BC) = (AB) C}\)
• Distributivité : \(\displaystyle{ A(B+C) = AB + AC }\) et \(\displaystyle{ (B+C) A = BA + CA }\)
• \(\displaystyle{ A I_n = I_n A = A }\)
• \(\displaystyle{ (0)_n = (0)_n A = (0)_n }\)
| Définition |
Deux matrices carrées \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) d’ordre \(\displaystyle{n}\) commutent si et seulement si :
$$ AB = BA $$
$$ AB = BA $$
» Attention :
• En général, \(\displaystyle{ AB \neq BA }\).
• \(\displaystyle{AB}\) peut être nulle sans que ni \(\displaystyle{A}\) ni \(\displaystyle{B}\) ne soit nulle.
• \(\displaystyle{AB = AC}\) n’implique pas nécessairement que \(\displaystyle{B=C}\).
| Théorème |
On considère deux matrices diagonales \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,…, a_n) }\)
et \(\displaystyle{B = \text{diag}(b_1,…, b_n) }\). On a :
$$ AB = BA = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n b_n \end{pmatrix} $$
$$ AB = BA = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n b_n \end{pmatrix} $$
3.3. Puissances
| Définition |
Soient \(\displaystyle{A}\) une matrice carrée d’ordre \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel non nul, on définit les puissances de \(\displaystyle{A}\) :
$$ A^k = \underbrace{ A \times… \times A }_{k} $$
$$ A^k = \underbrace{ A \times… \times A }_{k} $$
» Remarque : par convention, \(\displaystyle{ A^0 = I_n }\).
| Propriété |
Pour tous entiers naturels non nuls \(\displaystyle{k}\) et \(\displaystyle{r}\) : \(\displaystyle{ A^k \times A^r = A^{k+r} }\)
| Théorème |
On considère une matrice diagonale \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,…, a_n) }\)
et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel non nul. On a :
$$ A^k = \begin{pmatrix} a_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_{n}^{k} \end{pmatrix} $$
$$ A^k = \begin{pmatrix} a_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_{n}^{k} \end{pmatrix} $$
3.4. Inverse d’une matrice
| Définition |
La matrice carrée \(\displaystyle{A}\) d’ordre \(\displaystyle{n}\) est inversible si et seulement s’il existe une matrice \(\displaystyle{B}\) telle que :
$$ AB = BA = I_n $$ La matrice \(\displaystyle{B}\) est alors appelée matrice inverse de \(\displaystyle{A}\) et est notée \(\displaystyle{A^{-1}}\). Elle est unique.
$$ AB = BA = I_n $$ La matrice \(\displaystyle{B}\) est alors appelée matrice inverse de \(\displaystyle{A}\) et est notée \(\displaystyle{A^{-1}}\). Elle est unique.
| Théorème |
On considère une matrice diagonale \(\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,…, a_n) }\). \(\displaystyle{A}\) est inversible si et seulement si aucun des coefficients de sa diagonale n’est nul, et on a :
$$ A^{-1} = \text{diag}\left( \frac{1}{a_1},…, \frac{1}{a_n} \right) $$
$$ A^{-1} = \text{diag}\left( \frac{1}{a_1},…, \frac{1}{a_n} \right) $$
Term S | Cours : Densité de probabilité, lois normales, intervalles de fluctuation et de confiance
| Chapitre 12 |
|
|
1. Lois à densité
1.1. Densité de probabilité
| Définition |
Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction définie sur un intervalle \(\displaystyle{I = [a ; + \infty[}\), positive et continue sur \(\displaystyle{I}\), telle que :
\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \int_{a}^{x} f(t) \ \mathrm dt = 1}\)
Alors, en posant pour tout réel \(\displaystyle{b}\) de \(\displaystyle{I}\) : \(\displaystyle{P([a ; b]) = \int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt}\), on définit une loi de probabilité continue sur \(\displaystyle{I}\). La fonction \(\displaystyle{f}\) est la densité de probabilité de cette loi.
\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \int_{a}^{x} f(t) \ \mathrm dt = 1}\)
Alors, en posant pour tout réel \(\displaystyle{b}\) de \(\displaystyle{I}\) : \(\displaystyle{P([a ; b]) = \int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt}\), on définit une loi de probabilité continue sur \(\displaystyle{I}\). La fonction \(\displaystyle{f}\) est la densité de probabilité de cette loi.
» Notation : \(\displaystyle{P([a ; b]) = P(X \in [a ; b]) = P(a \leqslant X \leqslant b)}\)
| Propriétés |
• \(\displaystyle{P([a ; b]) = P([a ; b[) = P(]a ; b]) = P(]a ; b[)}\)
• \(\displaystyle{P([a ; a]) = 0}\)
• \(\displaystyle{P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a) }\)
• \(\displaystyle{P(X \leqslant a) + P(X \leqslant -a) = 1 }\)
1.2. Loi uniforme sur \(\displaystyle{[a ; b]}\)
| Définition |
Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l’intervalle \(\displaystyle{[a ; b]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \(\displaystyle{[a ; b]}\) par :
$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$
$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l’intervalle \(\displaystyle{[a ; b]}\), alors pour tous réels \(\displaystyle{c}\) et \(\displaystyle{d}\) tels que \(\displaystyle{a \leqslant c \leqslant d \leqslant b }\) :
$$ P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d-c}{b-a} $$
$$ P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d-c}{b-a} $$
| Illustration |
|
|
La valeur de \(\displaystyle{P([c ; d])}\) est égale à l’aire de la surface comprise entre la droite d’équation |
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi uniforme sur l’intervalle \(\displaystyle{[a ; b]}\), son espérance est alors égale à :
$$ E(X) = \frac{a+b}{2} $$
$$ E(X) = \frac{a+b}{2} $$
1.3. Loi exponentielle
| Définition |
Soit \(\displaystyle{\lambda}\) un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\) (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction \(\displaystyle{f}\) définie pour tout réel positif par :
$$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$
La loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\) (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction \(\displaystyle{f}\) définie pour tout réel positif par :
$$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\), alors :
$$ P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_{a}^{b} \lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt $$
$$ P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_{a}^{b} \lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt $$
| Illustration |
 |
La valeur de \(\displaystyle{P([a ; b])}\) est égale à l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation |
| Propriétés |
Soit un réel positif \(\displaystyle{a}\).
• \(\displaystyle{P(X \leqslant a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt = 1 - e^{-\lambda a}}\)
• \(\displaystyle{P(X \gt a) = 1 - P(X \leqslant a) = e^{-\lambda a}}\)
• Soit un réel positif \(\displaystyle{s}\) : \(\displaystyle{P_{(X \geqslant a)}(a \leqslant X \leqslant a + s) = P(0 \leqslant X \leqslant s)}\)
| Widget |
1.4. Loi normale centrée réduite
| Définition |
Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite notée \(\displaystyle{\mathcal{N}(0;1)}\) si elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, alors :
$$ P(X \leqslant a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
$$ P(X \leqslant a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
| Illustration |
|
|
La valeur de \(\displaystyle{P(X \leqslant a)}\) est égale à l’aire de la surface comprise entre la courbe d’équation |
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel \(\displaystyle{\alpha}\) de \(\displaystyle{]0;1[}\) il existe un unique réel positif \(\displaystyle{u_{\alpha}}\) tel que :
$$ P(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha $$
$$ P(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha $$
| Illustration |
| Théorèmes |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :
$$ E(X) = 0 $$
$$ E(X) = 0 $$
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors égale à :
$$ V(X) = 1 $$
$$ V(X) = 1 $$
1.5. Loi normale générale
| Définition |
Une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\) (\(\displaystyle{\mu \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{\sigma \in \mathbb{R}^{+*}}\)) si la variable aléatoire \(\displaystyle{\frac{X-\mu}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.
| Théorèmes |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\), son espérance est alors égale à :
$$ E(X) = \mu $$
$$ E(X) = \mu $$
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\), sa variance est alors égale à :
$$ V(X) = \sigma^2 $$ et son écart-type est donc égale à \(\displaystyle{\sigma}\).
$$ V(X) = \sigma^2 $$ et son écart-type est donc égale à \(\displaystyle{\sigma}\).
| Illustration |
On observe que plus \(\displaystyle{\sigma}\) augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\) est aplatie. De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c’est-à-dire la droite d’équation \(\displaystyle{x=\mu}\).
» Remarque : si \(\displaystyle{\mu=0}\) et \(\displaystyle{\sigma=1}\), on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.
| Théorème |
Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :
$$ P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,68 $$ $$ P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95 $$ $$ P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0,997 $$
$$ P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,68 $$ $$ P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95 $$ $$ P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0,997 $$
1.6. Théorème de Moivre-Laplace
| Théorème |
Soit \(\displaystyle{X_n}\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on définit la variable aléatoire \(\displaystyle{Z_n}\) par :
$$ Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} $$ Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)), on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P(a \leqslant Z_n \leqslant b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
$$ Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} $$ Pour tous réels \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)), on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P(a \leqslant Z_n \leqslant b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}} \ \mathrm dt $$
» Remarque : cela signifie que si \(\displaystyle{n}\) est très grand, on peut approximer une loi binomiale par la loi normale centrée réduite.
2. Estimation et statistique
2.1. Intervalles de fluctuation
| Définition |
Soient Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, \(\displaystyle{\alpha}\) un réel de \(\displaystyle{]0;1[}\) et \(\displaystyle{u_{\alpha}}\) l’unique réel positif tel que \(\displaystyle{P(-u_{\alpha} \leqslant Z \leqslant u_{\alpha}) = 1-\alpha}\).
Si \(\displaystyle{X_n}\) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on pose :
$$ I_n = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] $$ et on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1-\alpha $$ L’intervalle \(\displaystyle{I_n}\) est appelé intervalle de fluctuation de \(\displaystyle{\frac{X_n}{n}}\) au seuil \(\displaystyle{1-\alpha}\), si les conditions suivantes sont satisfaites :
$$ n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5 $$
Si \(\displaystyle{X_n}\) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \(\displaystyle{\mathcal{B}(n;p)}\), on pose :
$$ I_n = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] $$ et on a alors :
$$ \lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1-\alpha $$ L’intervalle \(\displaystyle{I_n}\) est appelé intervalle de fluctuation de \(\displaystyle{\frac{X_n}{n}}\) au seuil \(\displaystyle{1-\alpha}\), si les conditions suivantes sont satisfaites :
$$ n \geqslant 30 \text{ , } np \geqslant 5 \text{ , } n(1-p) \geqslant 5 $$
» Remarque : dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès \(\displaystyle{p}\) est connue.
2.2. Intervalles de confiance
| Définition |
On considère une expérience de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de succès \(\displaystyle{p}\). On appelle \(\displaystyle{f_n}\) la fréquence d’apparition du succès après \(\displaystyle{n}\) répétitions indépendantes. Si \(\displaystyle{n \geqslant 30}\), \(\displaystyle{nf_n \geqslant 5}\) et \(\displaystyle{n(1-f_n) \geqslant 5}\), alors \(\displaystyle{p}\) appartient à l’intervalle suivant avec un niveau de confiance de \(\displaystyle{95\%}\) :
$$ \left[ f_n - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] $$
$$ \left[ f_n - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f_n + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] $$
» Remarque : dans cette configuration, la proportion ou probabilité de succès \(\displaystyle{p}\) est inconnue.
3ème : Lire un histogramme pour déterminer les effectifs d’une série statistique regroupée en classes
| Exercice 374 |
Il rassemble les notes par intervalles, et représente les résultats sur un histogramme. Chaque rectangle correspond à un intervalle de notes, dont l’aire est égale au nombre d’élèves ayant obtenu une note située dans cet intervalle :
Compléter le tableau suivant par lecture de l’histogramme :
| Notes | Total | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs |
Réviser les cours correspondants
| 3ème | Cours : Etude de séries statistiques, moyenne, médiane, quartiles |
3ème : Déterminer l’étendue, la médiane et les quartiles d’une série statistique
| Exercice 373 |
| T1 | \(\displaystyle{4}\) | \(\displaystyle{13}\) | \(\displaystyle{10}\) | \(\displaystyle{9}\) | \(\displaystyle{16}\) | \(\displaystyle{14}\) | \(\displaystyle{7}\) | \(\displaystyle{11}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T2 | \(\displaystyle{12}\) | \(\displaystyle{7}\) | \(\displaystyle{4}\) | \(\displaystyle{18}\) | \(\displaystyle{17}\) | \(\displaystyle{5}\) | \(\displaystyle{8}\) | \(\displaystyle{13}\) |
| T3 | \(\displaystyle{7}\) | \(\displaystyle{8}\) | \(\displaystyle{9}\) | \(\displaystyle{10}\) | \(\displaystyle{11}\) | \(\displaystyle{12}\) | \(\displaystyle{13}\) | \(\displaystyle{14}\) |
1. Classer l’ensemble des notes de Sophie par ordre croissant.
2. Déterminer l’étendue de cette série.
3. Déterminer la médiane de cette série.
4. Déterminer les premier et troisième quartiles de cette série.
Réviser les cours correspondants
| 3ème | Cours : Etude de séries statistiques, moyenne, médiane, quartiles |
3ème : Moyenne d’une série statistique, et note à obtenir pour atteindre une moyenne cible
| Exercice 372 |
\(\displaystyle{8}\) ; \(\displaystyle{16}\) ; \(\displaystyle{11}\) ; \(\displaystyle{7}\).
1. Calculer la moyenne de ses notes.
2. Quelle note faut-il qu’il obtienne au cinquième contrôle pour que sa moyenne soit de \(\displaystyle{12}\) ?
Réviser les cours correspondants
| 3ème | Cours : Etude de séries statistiques, moyenne, médiane, quartiles |
3ème : Représenter les effectifs d’une série statistique sur un diagramme circulaire
| Exercice 371 |
• \(\displaystyle{1 000 000}\) empruntent leur voiture ;
• \(\displaystyle{3 500 000}\) utilisent les transports en commun ;
• \(\displaystyle{500 000}\) vont au travail en deux roues (moto, vélo …).
On cherche à représenter ces résultats sur un diagramme circulaire.
1. Compléter le tableau suivant :
| Voiture | Transports en commun | Deux roues | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | ||||
| Fréquence | \(\displaystyle{1}\) | |||
| Angle | \(\displaystyle{360^\circ}\) |
2. Construire le diagramme circulaire correspondant.
Réviser les cours correspondants
| 3ème | Cours : Etude de séries statistiques, moyenne, médiane, quartiles |
3ème : Déterminer des antécédents graphiquement et par résolution d’une équation
| Exercice 370 |
$$f(x) = x^{2} - 4x - 4$$ On donne sa représentation graphique :
1. Résoudre l’équation : \(\displaystyle{x^{2} - 4x - 4 = - 4}\)
2. En déduire les antécédents de \(\displaystyle{- 4}\) par \(\displaystyle{f}\).
3. Déterminer graphiquement les antécédents de \(\displaystyle{1}\) par \(\displaystyle{f}\).
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